"EXISTE" MUITAS ESPERANÇAS

Aqui virá no plural, meus queridos, pois o verbo "existir" é variável e, aqui, está acompanhado de algo no plural -> Ex.: Existem muitas esperanças.
Sendo variável, ele virá no singular quando estiver seguido ou antecedido de algo no singular -> Ex.: Existe muita esperança.

(1) DE / (2) DÊ

(1) "De" é preposição, une as palavras. -> Ex: Gosto de refrigerante de laranja.
(2) "Dê" é uma ordem (verbo no imperativo afirmativo) que vem do verbo "dar". -> Ex: Me dê um brinquedo, mãe!